Lineárne vs nelineárne diferenciálne rovnice
Rovnica obsahujúca aspoň jeden diferenciálny koeficient alebo derivát neznámej premennej je známa ako diferenciálna rovnica. Diferenciálna rovnica môže byť lineárna alebo nelineárna. Cieľom tohto článku je vysvetliť, čo je lineárna diferenciálna rovnica, čo je nelineárna diferenciálna rovnica a aký je rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami.
Od vývoja počtu v 18. storočí matematikmi ako Newton a Leibnitz zohrávala diferenciálna rovnica dôležitú úlohu v príbehu matematiky. Diferenciálne rovnice majú v matematike veľký význam z dôvodu rozsahu ich použitia. Diferenciálne rovnice sú jadrom každého modelu, ktorý vyvíjame, aby sme vysvetlili akýkoľvek scenár alebo udalosť na svete, či už vo fyzike, strojárstve, chémii, štatistike, finančnej analýze alebo biológii (zoznam je nekonečný). V skutočnosti, kým sa z počtu nestal ustálená teória, neboli k dispozícii správne matematické nástroje na analýzu zaujímavých problémov v prírode.
Výsledné rovnice zo špecifickej aplikácie počtu môžu byť veľmi zložité a niekedy neriešiteľné. Existujú však také, ktoré môžeme vyriešiť, ale môžu vyzerať podobne a mätúco. Pre ľahšiu identifikáciu sú preto diferenciálne rovnice kategorizované podľa matematického správania. Jednou z takýchto kategorizácií je lineárna a nelineárna. Je dôležité zistiť rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami.
Čo je lineárna diferenciálna rovnica?
Predpokladajme, že f: X → Y af (x) = y, diferenciálna rovnica bez nelineárnych členov neznámej funkcie y a jej derivátov je známa ako lineárna diferenciálna rovnica.
Zavádza podmienku, že y nemôže mať vyššie indexové výrazy ako y 2, y 3, … a násobky derivátov ako napr
Tiež nemôže obsahovať nelineárne výrazy ako Sin y, e y ^ -2 alebo ln y. Má formu,
kde y a g sú funkcie x. Rovnica je diferenciálna rovnica rádu n, ktorá je indexom derivácie najvyššieho rádu.
V lineárnej diferenciálnej rovnici je diferenciálny operátor lineárny operátor a riešenia tvoria vektorový priestor. V dôsledku lineárnej povahy množiny riešení je lineárna kombinácia riešení tiež riešením diferenciálnej rovnice. To znamená, že ak sú y 1 a y 2 riešením diferenciálnej rovnice, potom je riešením aj C 1 y 1 + C 2 y 2.
Linearita rovnice je iba jedným parametrom klasifikácie a je možné ju ďalej kategorizovať na homogénne alebo nehomogénne a bežné alebo parciálne diferenciálne rovnice. Ak je funkcia g = 0, potom je rovnica lineárna homogénna diferenciálna rovnica. Ak je f funkciou dvoch alebo viacerých nezávislých premenných (f: X, T → Y) af (x, t) = y, potom je rovnica lineárna parciálna diferenciálna rovnica.
Metóda riešenia diferenciálnej rovnice závisí od typu a koeficientov diferenciálnej rovnice. Najjednoduchší prípad nastane, keď sú koeficienty konštantné. Klasickým príkladom pre tento prípad je druhý Newtonov pohybový zákon a jeho rôzne aplikácie. Newtonov druhý zákon vytvára lineárnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi.
Čo je to nelineárna diferenciálna rovnica?
Rovnice, ktoré obsahujú nelineárne členy, sú známe ako nelineárne diferenciálne rovnice.
Všetko vyššie sú nelineárne diferenciálne rovnice. Nelineárne diferenciálne rovnice je ťažké vyriešiť, preto je potrebné dôkladné preštudovanie, aby sa získalo správne riešenie. V prípade parciálnych diferenciálnych rovníc nemá väčšina rovníc všeobecné riešenie. S každou rovnicou sa preto musí zaobchádzať nezávisle.
Navier-Stokesova rovnica a Eulerova rovnica v dynamike tekutín, Einsteinove poľné rovnice všeobecnej relativity sú dobre známe nelineárne parciálne diferenciálne rovnice. Aplikácia Lagrangeovej rovnice na variabilný systém môže niekedy viesť k systému nelineárnych parciálnych diferenciálnych rovníc.
Aký je rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami?
• Diferenciálna rovnica, ktorá má iba lineárne členy neznámej alebo závislej premennej a jej derivátov, je známa ako lineárna diferenciálna rovnica. Nemá výraz so závislou premennou indexu vyššou ako 1 a neobsahuje žiadny násobok svojich derivátov. Nemôže mať nelineárne funkcie, ako sú trigonometrické funkcie, exponenciálne funkcie a logaritmické funkcie vzhľadom na závislú premennú. Akákoľvek diferenciálna rovnica, ktorá obsahuje vyššie uvedené výrazy, je nelineárna diferenciálna rovnica.
• Riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc vytvárajú vektorový priestor a operátor diferenciálu je tiež lineárnym operátorom vo vektorovom priestore.
• Riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc sú relatívne jednoduchšie a existujú všeobecné riešenia. Pre nelineárne rovnice vo väčšine prípadov všeobecné riešenie neexistuje a riešenie môže byť špecifické pre daný problém. Toto robí riešenie oveľa ťažším ako lineárne rovnice.
