Asociatívne vs komutatívne
V každodennom živote musíme používať čísla, kedykoľvek potrebujeme niečo zmerať. V obchode s potravinami, na benzínovej pumpe a dokonca aj v kuchyni musíme sčítať, odčítať a vynásobiť dve alebo viac množstiev. Z našej praxe tieto výpočty vykonávame celkom bez námahy. Nikdy si nevšimneme a nespochybňujeme, prečo tieto operácie robíme týmto konkrétnym spôsobom. Alebo prečo sa tieto výpočty nedajú robiť inak. Odpoveď je skrytá v spôsobe, akým sú tieto operácie definované v matematickom poli algebry.
V algebre je operácia zahŕňajúca dve veličiny (napríklad sčítanie) definovaná ako binárna operácia. Presnejšie ide o operáciu medzi dvoma prvkami zo sady a tieto prvky sa nazývajú „operand“. Mnoho operácií v matematike vrátane aritmetických operácií uvedených vyššie a tých, ktoré sa vyskytujú v teórii množín, lineárnej algebre a matematickej logike, možno definovať ako binárne operácie.
Existuje súbor riadiacich pravidiel týkajúcich sa konkrétnej binárnej operácie. Asociatívne a komutatívne vlastnosti sú dve základné vlastnosti binárnych operácií.
Viac informácií o komutatívnom majetku
Predpokladajme, že sa na prvkoch A a B vykoná nejaká binárna operácia označená symbolom ⊗. Ak poradie operandov nemá vplyv na výsledok operácie, potom sa hovorí, že operácia je komutatívna. tj ak A ⊗ B = B ⊗ A, potom je operácia komutatívna.
Aritmetické operácie, sčítanie a násobenie sú komutatívne. Poradie sčítaných alebo vynásobených čísel nemá vplyv na konečnú odpoveď:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Ale v prípade rozdelenia dáva zmena v poradí prevratnú hodnotu druhého a pri odpočítaní dáva zmena negatívny druhého. Preto
A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 a 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 a 5 ÷ 4 = 1,25 [v tomto prípade A, B ≠ 1 a 0]
V skutočnosti sa hovorí, že odčítanie je protikomutatívne; kde A - B = - (B - A).
Logické spojky, spojka, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia sú tiež komutatívne. Pravdivé funkcie sú tiež komutatívne. Jednotka operácií množiny a križovatka sú komutatívne. Sčítanie a skalárny súčin vektorov sú tiež komutatívne.
Ale vektorový odčítanie a vektorový produkt nie je komutatívny (vektorový produkt dvoch vektorov je komutatívny). Sčítanie matice je komutatívne, ale násobenie a odčítanie nie sú komutatívne. (Násobenie dvoch matíc môže byť v špeciálnych prípadoch komutatívne, napríklad násobenie matice s jej inverznou hodnotou alebo matice identity; matice však rozhodne nie sú komutatívne, ak matice nemajú rovnakú veľkosť.)
Viac informácií o združenom majetku
O binárnej operácii sa hovorí, že je asociatívna, ak poradie vykonania neovplyvní výsledok, keď sú prítomné dva alebo viac výskytov operátora. Zvážte prvky A, B a C a binárnu operáciu ⊗. Operácia ⊗ sa považuje za asociatívnu, ak
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Zo základných aritmetických funkcií sú asociatívne iba sčítanie a násobenie.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Odčítanie a delenie nie sú asociatívne;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 a (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 a (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Logické spojky disjunkcia, konjunkcia a ekvivalencia sú asociatívne, rovnako ako zjednotenie operácií únie a priesečník. Matica a sčítanie vektorov sú asociatívne. Skalárny súčin vektorov je asociatívny, ale vektorový súčin nie. Násobenie matíc je asociatívne iba za zvláštnych okolností.
Aký je rozdiel medzi komutatívnym a asociatívnym majetkom?
• Asociatívna vlastnosť a komutatívna vlastnosť sú špeciálne vlastnosti binárnych operácií a niektoré ich uspokojujú a iné nie.
• Tieto vlastnosti možno vidieť v mnohých formách algebraických operácií a iných binárnych operáciách v matematike, ako sú priesečník a spojenie v teórii množín alebo logické spojky.
• Rozdiel medzi komutatívnym a asociatívnym je v tom, že komutatívna vlastnosť uvádza, že poradie prvkov nemení konečný výsledok, zatiaľ čo asociatívna vlastnosť uvádza, že poradie, v ktorom sa operácia vykonáva, nemá vplyv na konečnú odpoveď.
