Závislé vs nezávislé udalosti
V našom každodennom živote narazíme na udalosti s neistotou. Napríklad šanca na výhru v lotérii, ktorú si kúpite, alebo šanca na získanie zamestnania, ktoré ste si podali. Na určenie matematickej pravdepodobnosti niečoho sa používa základná teória pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť je vždy spojená s náhodnými experimentmi. O experimente s niekoľkými možnými výsledkami sa hovorí, že ide o náhodný experiment, ak nie je možné vopred predpovedať výsledok niektorého z pokusov. Závislé a nezávislé udalosti sú pojmy používané v teórii pravdepodobnosti.
Udalosť B sa považuje za nezávislú od udalosti A, ak pravdepodobnosť, že dôjde k B, nebude ovplyvnená tým, či k A došlo alebo nie. Jednoducho, dve udalosti sú nezávislé, ak výsledok jednej z nich neovplyvní pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti. Inými slovami, B je nezávislé od A, ak P (B) = P (B | A). Podobne A je nezávislé od B, ak P (A) = P (A | B). Tu P (A | B) označuje podmienenú pravdepodobnosť A za predpokladu, že sa B stalo. Ak uvažujeme o hodení dvoma kockami, číslo zobrazené v jednej matrici nemá žiadny vplyv na to, čo sa stalo v druhej matrici.
Pre ľubovoľné dve udalosti A a B vo vzorovom priestore S; podmienená pravdepodobnosť A za predpokladu, že došlo k B, je P (A | B) = P (A∩B) / P (B). Takže ak je udalosť A nezávislá od udalosti B, potom P (A) = P (A | B) znamená, že P (A∩B) = P (A) x P (B). Podobne, ak platí P (B) = P (B | A), potom platí P (A∩B) = P (A) x P (B). Môžeme teda dospieť k záveru, že dva deje A a B sú nezávislé, ak a len vtedy, ak platí podmienka P (A∩B) = P (A) x P (B).
Predpokladajme, že hodíme raznicou a hodíme mincou súčasne. Potom je súbor všetkých možných výsledkov alebo vzorový priestor S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Nech udalosť A je udalosťou získania hláv, potom pravdepodobnosť udalosti A, P (A) je 6/12 alebo 1/2 a nech B je udalosť získania násobku troch na matrici. Potom P (B) = 4/12 = 1/3. Ktorákoľvek z týchto dvoch udalostí nemá žiadny vplyv na výskyt druhej udalosti. Preto sú tieto dve udalosti nezávislé. Pretože množina (A∩B) = {(3, H), (6, H)}, pravdepodobnosť udalosti, že hlavica a násobok troch zomrie, teda P (A∩B), je 2/12 alebo 1/6. Násobenie P (A) x P (B) sa tiež rovná 1/6. Pretože obidve udalosti A a B majú podmienku, môžeme povedať, že A a B sú nezávislé udalosti.
Ak je výsledok udalosti ovplyvnený výsledkom druhej udalosti, potom sa hovorí, že táto udalosť je závislá.
Predpokladajme, že máme vak, ktorý obsahuje 3 červené guľôčky, 2 biele guľôčky a 2 zelené guľôčky. Pravdepodobnosť náhodného nakreslenia bielej gule je 2/7. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej gule? Je to 2/7?
Ak by sme po výmene prvej lopty nakreslili druhú loptu, bude táto pravdepodobnosť 2/7. Ak však nevymeníme prvú loptu, ktorú sme vytiahli, máme v taške iba šesť loptičiek, takže pravdepodobnosť vylosovania zelenej gule je teraz 2/6 alebo 1/3. Preto je druhá udalosť závislá, pretože prvá udalosť má vplyv na druhú udalosť.
Aký je rozdiel medzi závislou udalosťou a nezávislou udalosťou?
