Vzájomne exkluzívne vs nezávislé udalosti
Ľudia si často mýlia pojem vzájomne sa vylučujúce udalosti s udalosťami nezávislými. V skutočnosti ide o dve odlišné veci.
Nech A a B sú ľubovoľné dve udalosti spojené s náhodným experimentom E. P (A) sa nazýva „Pravdepodobnosť A“. Podobne môžeme definovať pravdepodobnosť B ako P (B), pravdepodobnosť A alebo B ako P (A∪B) a pravdepodobnosť A a B ako P (A∩B). Potom P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Dve udalosti sa však vzájomne vylučujú, ak výskyt jednej udalosti neovplyvní druhú. Inými slovami, nemôžu sa vyskytnúť súčasne. Ak sa teda dve udalosti A a B navzájom vylučujú, potom A∩B = ∅, a teda z toho vyplýva P (A∪B) = P (A) + P (B).
Nech A a B sú dva deje vo vzorovom priestore S. Podmienená pravdepodobnosť A, vzhľadom na to, že došlo k B, je označená ako P (A | B) a je definovaná ako; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), za predpokladu, že P (B)> 0. (inak to nie je definované.)
Udalosť A sa považuje za nezávislú od udalosti B, ak pravdepodobnosť výskytu A nie je ovplyvnená tým, či k udalosti B došlo alebo nie. Inými slovami, výsledok udalosti B nemá žiadny vplyv na výsledok udalosti A. Preto P (A | B) = P (A). Podobne je B nezávislé od A, ak P (B) = P (B | A). Preto môžeme dospieť k záveru, že ak A a B sú nezávislé udalosti, potom P (A∩B) = P (A). P (B)
Predpokladajme, že je hodená očíslovaná kocka a je hodená spravodlivá minca. Nech A je udalosť, ktorá získa hlavu, a B je udalosť, ktorá hodí párne číslo. Potom môžeme dospieť k záveru, že udalosti A a B sú nezávislé, pretože výsledok jedného nemá vplyv na výsledok druhého. Preto P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Pretože P (A∩B) ≠ 0, A a B sa nemôžu navzájom vylučovať.
Predpokladajme, že urna obsahuje 7 bielych guľôčok a 8 čiernych guľôčok. Definujte udalosť A ako kresbu bieleho mramoru a udalosť B ako kresbu čierneho mramoru. Za predpokladu, že každý mramor bude nahradený po zaznamenaní jeho farby, potom P (A) a P (B) budú vždy rovnaké, bez ohľadu na to, koľkokrát čerpáme z urny. Nahradenie guličiek znamená, že sa pravdepodobnosť nemení od žrebovania k žrebovaniu bez ohľadu na to, akú farbu sme vybrali pri poslednom žrebovaní. Preto sú udalosti A a B nezávislé.
Ak sa však guličky kreslili bez výmeny, potom sa všetko zmení. Za tohto predpokladu nie sú udalosti A a B nezávislé. Prvé nakreslenie bieleho mramoru zmení pravdepodobnosť nakreslenia čierneho mramoru pri druhom nakreslení atď. Inými slovami, každé žrebovanie má vplyv na ďalšie žrebovanie, a preto jednotlivé žrebovania nie sú nezávislé.
Rozdiel medzi vzájomne sa vylučujúcimi a nezávislými udalosťami
- Vzájomná exkluzivita udalostí znamená, že nedochádza k prekrývaniu medzi množinami A a B. Nezávislosť udalostí znamená, že dej A nemá vplyv na dej B.
- Ak sa dve udalosti A a B navzájom vylučujú, potom P (A∩B) = 0.
- Ak sú dve udalosti nezávislé na A a B, potom P (A∩B) = P (A). P (B)
