Rozdiel Medzi Integráciou A Súčtom

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-16 08:42

Integrácia vs súčet

V matematike na strednej škole sa integrácia a súčet často nachádzajú v matematických operáciách. Zdanlivo sa používajú ako rôzne nástroje a v rôznych situáciách, ale zdieľajú veľmi blízky vzťah.

Viac o sumácii

Sčítanie je operácia sčítania postupnosti čísel a táto operácia sa často označuje gréckym veľkým písmenom sigma Σ. Používa sa na skrátenie súčtu a rovná sa súčtu / súčtu postupnosti. Často sa používajú na reprezentáciu sérií, ktoré sú v podstate zhrnutými nekonečnými sekvenciami. Môžu sa tiež použiť na označenie súčtu vektorov, matíc alebo polynómov.

Sčítanie sa zvyčajne vykonáva pre rozsah hodnôt, ktoré môžu byť vyjadrené všeobecným výrazom, napríklad sériou, ktorá má spoločný výraz. Počiatočný bod a konečný bod súčtu sú známe ako dolná a horná hranica súčtu.

Napríklad súčet postupnosti a ₁, a ₂, a ₃, a ₄,…, a _n je ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, ktoré je možné ľahko znázorniť pomocou súčtu ako ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; i sa nazýva index súčtu.

Pre súčet na základe aplikácie sa používa veľa variácií. V niektorých prípadoch môžu byť horná a dolná hranica dané ako interval alebo rozsah, napríklad ∑ _1≤i≤100 a _i a ∑ _{i∈ [1 100]} a _i. Alebo to môže byť dané ako množina čísel ako ∑ _i∈P a _i, kde P je definovaná množina.

V niektorých prípadoch je možné použiť dva alebo viac znakov sigma, ale je možné ich zovšeobecniť nasledovne; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Sčítanie tiež dodržiava mnoho algebraických pravidiel. Pretože vložená operácia je doplnkom, mnoho bežných pravidiel algebry sa dá použiť na samotné súčty a na jednotlivé výrazy zobrazené súčtom.

Viac informácií o integrácii

Integrácia je definovaná ako obrátený proces diferenciácie. Ale v jeho geometrickom pohľade ho možno považovať aj za oblasť ohraničenú krivkou funkcie a osou. Preto výpočet plochy dáva hodnotu určitého integrálu, ako je znázornené na diagrame.

Zdroj obrázkov:

Hodnota určitého integrálu je v skutočnosti súčtom malých prúžkov vo vnútri krivky a osi. Plocha každého pásu je výška × šírka v bode na uvažovanej osi. Šírka je hodnota, ktorú môžeme zvoliť, povedzme ∆x. A výška je približne hodnota funkcie v uvažovanom bode, napríklad f (x _i). Z diagramu je zrejmé, že čím menšie sú prúžky, tým lepšie prúžky zapadajú do ohraničenej oblasti, a teda k lepšej aproximácii hodnoty.

Všeobecne teda platí, že určitý integrál I medzi bodmi a a b (tj. V intervale [a, b], kde a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, kde n je počet prúžkov (n = (ba) / ∆x). Tento súčet plochy možno ľahko znázorniť pomocou súčtového zápisu ako I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Pretože aproximácia je lepšia, keď je ∆x menší, môžeme vypočítať hodnotu, keď je ∆x → 0. Preto je rozumné povedať I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Ako zovšeobecnenie z vyššie uvedeného konceptu môžeme zvoliť ∆x na základe uvažovaného intervalu indexovaného o i (výber šírky oblasti na základe polohy). Potom dostaneme

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Toto je známe ako Reimannova integrál funkcie f (x) v intervale [a, b]. V tomto prípade sú a a b známe ako horná hranica a dolná hranica integrálu. Reimannov integrál je základnou formou všetkých integračných metód.

Integrácia je v podstate súčet plochy, keď je šírka obdĺžnika nekonečne malá.

Aký je rozdiel medzi integráciou a sumáciou?

• Sčítanie predstavuje sčítanie postupnosti čísel. Súčet sa zvyčajne dáva v tomto tvare ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, keď členy v poradí majú vzor a môžu byť vyjadrené pomocou všeobecného výrazu.

• Integrácia je v podstate oblasť ohraničená krivkou funkcie, osou a hornou a dolnou hranicou. Túto plochu je možné uviesť ako súčet oveľa menších plôch zahrnutých do ohraničenej oblasti.

• Sčítanie zahŕňa diskrétne hodnoty s hornou a dolnou hranicou, zatiaľ čo integrácia zahŕňa spojité hodnoty.

• Integráciu možno interpretovať ako špeciálnu formu súčtu.

• V metódach numerického výpočtu sa integrácia vždy vykonáva ako súčet.