Rozdiel Medzi Derivátom A Rozdielom

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-16 08:42

Derivát vs rozdiel

V diferenciálnom počte derivácia a diferenciál funkcie úzko súvisia, ale majú veľmi odlišné významy a používajú sa na vyjadrenie dvoch dôležitých matematických objektov súvisiacich s diferencovateľnými funkciami.

Čo je to derivát?

Derivácia funkcie meria rýchlosť, akou sa mení hodnota funkcie pri zmene jej vstupu. Vo funkciách s viacerými premennými zmena hodnoty funkcie závisí od smeru zmeny hodnôt nezávislých premenných. Preto sa v takýchto prípadoch zvolí konkrétny smer a funkcia sa v tomto konkrétnom smere diferencuje. Táto derivácia sa nazýva smerová derivácia. Parciálne derivácie sú zvláštnym druhom smerových derivácií.

Deriváciu funkcie s vektorovou hodnotou f môžeme definovať ako limit

všade, kde existuje definitívne. Ako už bolo spomenuté, dá nám to rýchlosť nárastu funkcie f v smere vektora u. V prípade funkcie s jednou hodnotou sa to redukuje na známu definíciu derivátu,

Napríklad

je všade diferencovateľné a derivácia sa rovná limitu

ktorý sa rovná

. Deriváty funkcií, ako

existujú, existujú všade. Rovnajú sa funkcii

Toto je známe ako prvý derivát. Prvý derivát funkcie f sa zvyčajne označuje f ⁽¹⁾. Teraz pomocou tejto notácie je možné definovať derivácie vyššieho rádu.

je smerová derivácia druhého rádu a označujúca n- ^tú deriváciu f ⁽ⁿ⁾ pre každé n

definuje n- ^tú deriváciu.

Čo je to diferenciál?

Diferenciál funkcie predstavuje zmenu funkcie vzhľadom na zmeny v nezávislej premennej alebo premenných. V obvyklom notáciu, pre danej funkcie f jednej premennej x, celkový rozdiel rádu 1 df je daná,

. To znamená, že pre nekonečne malú zmenu v x (tj. Dx) dôjde k zmene af ⁽¹⁾ (x) dx vo f.

Použitím limitov je možné skončiť s touto definíciou nasledovne. Predpokladajme, že ∆ x je zmena v x v ľubovoľnom bode x a ∆ f je zodpovedajúca zmena vo funkcii f. Je možné ukázať, že ∆ f = f ⁽¹⁾ (x) ∆ x + ϵ, kde ϵ je chyba. Teraz je limit ∆ x → 0 ^{∆ f} / _{∆ x} = f ⁽¹⁾ (x) (s použitím skôr uvedenej definície derivácie) a teda, x → 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. Preto je možné k záveru, že ∆ x → 0 ϵ = 0. Teraz, keď označíme ∆ x → 0 ∆ f ako df a ∆ x → 0 ∆ x ako dx, je definícia diferenciálu dôsledne získaná.

Napríklad rozdiel funkcie

V prípade funkcií dvoch alebo viacerých premenných je celkový diferenciál funkcie definovaný ako súčet diferenciálov v smeroch každej z nezávislých premenných. Matematicky to možno konštatovať ako

Aký je rozdiel medzi derivátom a diferenciálom?

• Derivácia sa týka rýchlosti zmeny funkcie, zatiaľ čo rozdiel sa týka skutočnej zmeny funkcie, keď je nezávislá premenná vystavená zmenám.

• Derivácia je daná

ale diferenciál je daný