Derivát vs rozdiel
V diferenciálnom počte derivácia a diferenciál funkcie úzko súvisia, ale majú veľmi odlišné významy a používajú sa na vyjadrenie dvoch dôležitých matematických objektov súvisiacich s diferencovateľnými funkciami.
Čo je to derivát?
Derivácia funkcie meria rýchlosť, akou sa mení hodnota funkcie pri zmene jej vstupu. Vo funkciách s viacerými premennými zmena hodnoty funkcie závisí od smeru zmeny hodnôt nezávislých premenných. Preto sa v takýchto prípadoch zvolí konkrétny smer a funkcia sa v tomto konkrétnom smere diferencuje. Táto derivácia sa nazýva smerová derivácia. Parciálne derivácie sú zvláštnym druhom smerových derivácií.
Deriváciu funkcie s vektorovou hodnotou f môžeme definovať ako limit
všade, kde existuje definitívne. Ako už bolo spomenuté, dá nám to rýchlosť nárastu funkcie f v smere vektora u. V prípade funkcie s jednou hodnotou sa to redukuje na známu definíciu derivátu,
Napríklad
je všade diferencovateľné a derivácia sa rovná limitu
ktorý sa rovná
. Deriváty funkcií, ako
existujú, existujú všade. Rovnajú sa funkcii
Toto je známe ako prvý derivát. Prvý derivát funkcie f sa zvyčajne označuje f (1). Teraz pomocou tejto notácie je možné definovať derivácie vyššieho rádu.
je smerová derivácia druhého rádu a označujúca n- tú deriváciu f (n) pre každé n
definuje n- tú deriváciu.
Čo je to diferenciál?
Diferenciál funkcie predstavuje zmenu funkcie vzhľadom na zmeny v nezávislej premennej alebo premenných. V obvyklom notáciu, pre danej funkcie f jednej premennej x, celkový rozdiel rádu 1 df je daná,
. To znamená, že pre nekonečne malú zmenu v x (tj. Dx) dôjde k zmene af (1) (x) dx vo f.
Použitím limitov je možné skončiť s touto definíciou nasledovne. Predpokladajme, že ∆ x je zmena v x v ľubovoľnom bode x a ∆ f je zodpovedajúca zmena vo funkcii f. Je možné ukázať, že ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, kde ϵ je chyba. Teraz je limit ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (s použitím skôr uvedenej definície derivácie) a teda, x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Preto je možné k záveru, že ∆ x → 0 ϵ = 0. Teraz, keď označíme ∆ x → 0 ∆ f ako df a ∆ x → 0 ∆ x ako dx, je definícia diferenciálu dôsledne získaná.
Napríklad rozdiel funkcie
je
V prípade funkcií dvoch alebo viacerých premenných je celkový diferenciál funkcie definovaný ako súčet diferenciálov v smeroch každej z nezávislých premenných. Matematicky to možno konštatovať ako
Aký je rozdiel medzi derivátom a diferenciálom?
• Derivácia sa týka rýchlosti zmeny funkcie, zatiaľ čo rozdiel sa týka skutočnej zmeny funkcie, keď je nezávislá premenná vystavená zmenám.
• Derivácia je daná
ale diferenciál je daný
