Série Power vs Taylor
V matematike je reálna postupnosť usporiadaný zoznam reálnych čísel. Formálne ide o funkciu od množiny prirodzených čísel do množiny reálnych čísel. Ak je n n- tý pojem sekvencie, označíme postupnosť pomocou alebo pomocou 1, a 2, …, a n, …. Napríklad uvažujme postupnosť 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Môže byť označený ako {1 / n}.
Je možné definovať sériu pomocou sekvencií. Séria je súčet podmienok postupnosti. Preto pre každú sekvenciu existuje priradená sekvencia a naopak. Ak je uvažovanou sekvenciou {a n}, potom séria tvorená touto sekvenciou môže byť reprezentovaná ako:
Tak vo vyššie uvedenom príklade je spojená rad je 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / N + ….
Ako názvy napovedajú, výkonová séria je špeciálny typ sérií a je široko používaný v numerickej analýze a súvisiacom matematickom modelovaní. Séria Taylor je špeciálny rad napájania, ktorý poskytuje alternatívny a ľahko manipulovateľný spôsob predstavovania známych funkcií.
Čo je to séria Power?
Silová séria je séria formy
ktorý je konvergentný (možno) pre nejaký interval sústredený na c. Koeficienty a n môžu byť reálne alebo komplexné čísla a sú nezávislé od x; tj atrapa premennej.
Napríklad nastavením a n = 1 pre každé nac = 0 sa získa výkonový rad 1 + x + x 2 +….. + x n +…. Je ľahké si všimnúť, že keď x ε (-1,1), táto výkonová rada konverguje na 1 / (1-x).
Silový rad konverguje, keď x = c. Ostatné hodnoty x, ku ktorým konverguje energetický rad, budú mať vždy formu otvoreného intervalu so stredom na c. To znamená, že bude existovať hodnota 0≤ R ≤ ∞ taká, že pre každé x vyhovujúce | xc | ≤ R je výkonový rad konvergentný a pre každé x vyhovujúce | xc |> R je výkonový rad divergentný. Táto hodnota R sa nazýva polomer konvergencie výkonového radu (R môže mať akúkoľvek skutočnú hodnotu alebo kladnú nekonečnosť).
Výkonové rady je možné sčítať, odčítať, vynásobiť a rozdeliť pomocou nasledujúcich pravidiel. Zvážte dve výkonové rady:
Potom,
tj. podobné výrazy sa sčítajú alebo odčítajú. Tiež je možné znásobiť a rozdeliť dva výkonové rady pomocou identity,
Čo je séria Taylor?
Taylorova séria je definovaná pre funkciu f (x), ktorá je nekonečne diferencovateľná na intervale. Predpokladajme, že f (x) je diferencovateľné na intervale sústredenom na c. Potom výkonová séria, ktorá je daná
sa nazýva Taylorov rad rozšírenia funkcie f (x) o c. (Tu f (n) (c) označuje n- tú deriváciu pri x = c). V Numerickej analýze sa pri výpočte hodnôt v bodoch, kde je séria konvergentná k pôvodnej funkcii, používa konečný počet členov v tejto nekonečnej expanzii.
O funkcii f (x) sa hovorí, že je analytická v intervale (a, b), ak pre každé x ε (a, b) Taylorova séria f (x) konverguje k funkcii f (x). Napríklad 1 / (1-x) je analytické na (-1,1), pretože jeho Taylorovo rozšírenie 1 + x + x 2 + ….. + x n + … konverguje k funkcii v tomto intervale a e x je analytický všade, pretože Taylorova séria e x konverguje k e x pre každé skutočné číslo x.
Aký je rozdiel medzi radmi Power a Taylor?
1. Taylorov rad je špeciálna trieda výkonových radov definovaná iba pre funkcie, ktoré sú nekonečne diferencovateľné v nejakom otvorenom intervale.
2. Série Taylor majú osobitnú formu
zatiaľ čo mocninná séria môže byť ktorákoľvek séria formy
