Rozdiel Medzi Power Series A Taylor Series

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-09 22:11

Série Power vs Taylor

V matematike je reálna postupnosť usporiadaný zoznam reálnych čísel. Formálne ide o funkciu od množiny prirodzených čísel do množiny reálnych čísel. Ak je _n n- ^tý pojem sekvencie, označíme postupnosť pomocou alebo pomocou ₁, a ₂, …, a _n, …. Napríklad uvažujme postupnosť 1, ½, ⅓, …, ¹ / _n, …. Môže byť označený ako {1 / n}.

Je možné definovať sériu pomocou sekvencií. Séria je súčet podmienok postupnosti. Preto pre každú sekvenciu existuje priradená sekvencia a naopak. Ak je uvažovanou sekvenciou {a _n}, potom séria tvorená touto sekvenciou môže byť reprezentovaná ako:

Tak vo vyššie uvedenom príklade je spojená rad je 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _N + ….

Ako názvy napovedajú, výkonová séria je špeciálny typ sérií a je široko používaný v numerickej analýze a súvisiacom matematickom modelovaní. Séria Taylor je špeciálny rad napájania, ktorý poskytuje alternatívny a ľahko manipulovateľný spôsob predstavovania známych funkcií.

Čo je to séria Power?

Silová séria je séria formy

ktorý je konvergentný (možno) pre nejaký interval sústredený na c. Koeficienty a _n môžu byť reálne alebo komplexné čísla a sú nezávislé od x; tj atrapa premennej.

Napríklad nastavením a _n = 1 pre každé nac = 0 sa získa výkonový rad 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +…. Je ľahké si všimnúť, že keď x ε (-1,1), táto výkonová rada konverguje na 1 / (1-x).

Silový rad konverguje, keď x = c. Ostatné hodnoty x, ku ktorým konverguje energetický rad, budú mať vždy formu otvoreného intervalu so stredom na c. To znamená, že bude existovať hodnota 0≤ R ≤ ∞ taká, že pre každé x vyhovujúce | xc | ≤ R je výkonový rad konvergentný a pre každé x vyhovujúce | xc |> R je výkonový rad divergentný. Táto hodnota R sa nazýva polomer konvergencie výkonového radu (R môže mať akúkoľvek skutočnú hodnotu alebo kladnú nekonečnosť).

Výkonové rady je možné sčítať, odčítať, vynásobiť a rozdeliť pomocou nasledujúcich pravidiel. Zvážte dve výkonové rady:

Potom,

tj. podobné výrazy sa sčítajú alebo odčítajú. Tiež je možné znásobiť a rozdeliť dva výkonové rady pomocou identity,

Čo je séria Taylor?

Taylorova séria je definovaná pre funkciu f (x), ktorá je nekonečne diferencovateľná na intervale. Predpokladajme, že f (x) je diferencovateľné na intervale sústredenom na c. Potom výkonová séria, ktorá je daná

sa nazýva Taylorov rad rozšírenia funkcie f (x) o c. (Tu f ⁽ⁿ⁾ (c) označuje n- ^tú deriváciu pri x = c). V Numerickej analýze sa pri výpočte hodnôt v bodoch, kde je séria konvergentná k pôvodnej funkcii, používa konečný počet členov v tejto nekonečnej expanzii.

O funkcii f (x) sa hovorí, že je analytická v intervale (a, b), ak pre každé x ε (a, b) Taylorova séria f (x) konverguje k funkcii f (x). Napríklad 1 / (1-x) je analytické na (-1,1), pretože jeho Taylorovo rozšírenie 1 + x + x ² + ….. + x ⁿ + … konverguje k funkcii v tomto intervale a e ^x je analytický všade, pretože Taylorova séria e ^x konverguje k e ^x pre každé skutočné číslo x.