Kardinál vs Ordinál
V našom každodennom živote môže mať používanie čísel rôzne podoby v rôznych situáciách. Keď napríklad počítame, aby sme zistili veľkosť zbierky predmetov, spočítame ich ako jeden, dva, tri atď. Keď chceme niečo spočítať, aby sme získali pocit polohy objektov, spočítame ich ako prvé, druhé, tretie atď. V prvej forme počítania sa hovorí, že čísla sú kardinálne čísla. V druhej forme počítania sa čísla považujú za radové čísla. V tejto súvislosti sú pojmy kardinál a ordinál úplne záležitosťou lingvistiky; kardinál a ordinál sú prídavné mená.
Rozšírenie pojmu na množiny v matematike však odhaľuje oveľa hlbšiu a širšiu perspektívu a nedá sa s ňou zaobchádzať jednoducho. V tomto článku sa pokúsime porozumieť základným pojmom kardinálnych a radových čísel v matematike.
Formálne definície základných a radových čísel sú uvedené v teórii množín. Definície sú zložité a na ich dokonalé pochopenie sú potrebné základné znalosti v teórii množín. Preto sa obrátime k niekoľkým príkladom, aby sme pojmy pochopili heuristicky.
Zvážte dve súpravy {1,3,6,4,5,2} a {autobus, auto, trajekt, vlak, lietadlo, vrtuľník}. Každá sada obsahuje zoznam prvkov a ak spočítame počet prvkov, je zrejmé, že každý z nich má rovnaký počet prvkov, čo je 6. Keď sme dospeli k tomuto záveru, vzali sme veľkosť jednej sady a porovnali ju s druhou pomocou číslo. Takéto číslo sa nazýva hlavné číslo. Preto môžeme povedať, že kardinálne číslo je číslo, ktoré môžeme použiť na porovnanie veľkosti konečných množín.
Prvá množina čísel môže byť opäť usporiadaná vzostupne s ohľadom na veľkosť každého prvku a ich porovnanie. V procese objednávania sa čísla považujú za kardinálov. Rovnako možno množinu všetkých nezáporných celých čísel objednať v množine; tj {0,1,2,3,4, …..}. Ale v takom prípade sa veľkosť množiny stane nekonečnou a jej uvádzanie v podobe radových číslic nie je možné. Bez ohľadu na to, aké veľké číslo zvolíte, aby ste dostali veľkosť súpravy, zostanú z vami vybranej množiny čísla, ktoré sú nezáporné celé čísla.
Preto matematici definujú tohto nekonečného kardinála (ktorý je prvý) ako Aleph-0, napísaného ako א (prvé písmeno v hebrejskej abecede). Poradové číslo je formálne typom objednávky dobre usporiadanej množiny. Poradové číslo konečných množín preto možno dať kardinálnymi číslami, ale pre nekonečné množiny je radové číslo dané transfinitnými číslami, napríklad Aleph-0.
Aký je rozdiel medzi kardinálnymi a radovými číslami?
• Kardinálne číslo je číslo, ktoré možno použiť na spočítanie alebo na určenie veľkosti konečnej usporiadanej množiny. Všetky základné čísla sú radové.
• Poradové čísla sú čísla, ktoré sa používajú na určenie veľkosti konečných aj nekonečných usporiadaných množín. Veľkosť konečných usporiadaných množín je daná obvyklými hinduisticko-arabskými algebraickými číslicami a veľkosť nekonečnej množiny daná transfinitnými číslami.
