Rovnobežník vs Kosoštvorec
Rovnobežník a kosoštvorec sú štvoruholníky. Geometriu týchto obrazcov poznal človek tisíce rokov. Téme sa explicitne venuje kniha „Prvky“, ktorú napísal grécky matematik Euclid.
Rovnobežník
Rovnobežník možno definovať ako geometrický útvar so štyrmi stranami, s protiľahlými stranami navzájom rovnobežnými. Presnejšie ide o štvoruholník s dvoma pármi rovnobežných strán. Táto paralelná povaha dáva paralelogramom mnoho geometrických charakteristík.
Štvoruholník je rovnobežník, ak sa zistia nasledujúce geometrické charakteristiky.
• Dva páry protiľahlých strán majú rovnakú dĺžku. (AB = DC, AD = BC)
• Dva páry protiľahlých uhlov majú rovnakú veľkosť. (
)
• Ak sú susedné uhly doplňujúce
• Dvojica strán, ktoré sú proti sebe, sú rovnobežné a rovnakej dĺžky. (AB = DC a AB∥DC)
• Uhlopriečky sa navzájom rozdeľujú (AO = OC, BO = OD)
• Každá uhlopriečka rozdeľuje štvoruholník na dva zhodné trojuholníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Ďalej sa súčet štvorcov strán rovná súčtu štvorcov uhlopriečok. Toto sa niekedy označuje ako zákon rovnobežníka a má široké uplatnenie vo fyzike a inžinierstve. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Každá z vyššie uvedených charakteristík sa môže použiť ako vlastnosť, keď sa zistí, že štvoruholník je rovnobežník.
Plochu rovnobežníka možno vypočítať súčinom dĺžky jednej strany a výšky druhej strany. Preto možno plochu rovnobežníka uviesť ako
Plocha rovnobežníka = základňa × výška = AB × h
Plocha rovnobežníka je nezávislá od tvaru jednotlivého rovnobežníka. Závisí to iba od dĺžky základne a kolmej výšky.
Ak strany rovnobežníka môžu byť reprezentované dvoma vektormi, možno plochu získať veľkosťou vektorového produktu (krížového produktu) dvoch susedných vektorov.
Ak sú strany AB a AD reprezentované vektormi (
) a (
), je plocha rovnobežníka daná vzťahom
kde α je uhol medzi
a
Nasleduje niekoľko pokročilých vlastností rovnobežníka;
• Plocha rovnobežníka je dvojnásobok plochy trojuholníka vytvoreného ľubovoľnou z jeho uhlopriečok.
• Plocha rovnobežníka je rozdelená na polovicu ľubovoľnou priamkou prechádzajúcou stredom.
• Akákoľvek nedegenerovaná afinná transformácia vezme rovnobežník do iného rovnobežníka
• Rovnobežník má rotačnú symetriu rádu 2
• Súčet vzdialeností od ktoréhokoľvek vnútorného bodu rovnobežníka do strán je nezávislý od polohy bodu
Kosoštvorec
Štvoruholník, ktorého všetky strany majú rovnakú dĺžku, sa nazýva kosoštvorec. Je tiež pomenovaný ako rovnostranný štvoruholník. Má sa za to, že má tvar kosoštvorca, podobný tomu v hracích kartách.
Kosoštvorec je tiež zvláštnym prípadom rovnobežníka. Môže sa považovať za rovnobežník, ktorého všetky štyri strany sú rovnaké. A okrem vlastností rovnobežníka má aj nasledujúce špeciálne vlastnosti.
• Uhlopriečky kosoštvorca sa navzájom rozkladajú v pravých uhloch; uhlopriečky sú kolmé.
• Uhlopriečky rozdeľujú dva protiľahlé vnútorné uhly.
• Minimálne dve susedné strany majú rovnakú dĺžku.
Plochu kosoštvorca možno vypočítať rovnakou metódou ako paralelogram.
Aký je rozdiel medzi rovnobežníkom a kosoštvorcom?
• Rovnobežník a kosoštvorec sú štvoruholníky. Kosoštvorec je zvláštny prípad rovnobežníkov.
• Plochu ktoréhokoľvek môžete vypočítať pomocou vzorca základňa × výška.
• Berúc do úvahy uhlopriečky;
- Uhlopriečky rovnobežníka sa rozdeľujú od seba a rovnobežník rozdeľujú tak, aby vytvorili dva zodpovedajúce trojuholníky.
- Uhlopriečky kosoštvorca sa navzájom rozkladajú v pravých uhloch a vytvorené trojuholníky sú rovnostranné.
• Berúc do úvahy vnútorné uhly;
- Protichodné vnútorné uhly rovnobežníka sú rovnako veľké. Dva susedné vnútorné uhly sú doplnkové.
- Vnútorné uhly kosoštvorca sú rozdelené uhlopriečkami.
• Berúc do úvahy strany;
- V rovnobežníku sa súčet štvorcov strán rovná súčtu štvorcov uhlopriečky (zákon rovnobežníka).
- Pretože všetky štyri strany sú v kosoštvorci rovnaké, štvornásobok štvorca strany sa rovná súčtu štvorcov uhlopriečky.
