Rovnobežník vs Obdĺžnik
Rovnobežník a obdĺžnik sú štvoruholníky. Geometriu týchto obrazcov poznal človek tisíce rokov. Téme sa explicitne venuje kniha „Prvky“, ktorú napísal grécky matematik Euclid.
Rovnobežník
Rovnobežník možno definovať ako geometrický útvar so štyrmi stranami, s protiľahlými stranami navzájom rovnobežnými. Presnejšie ide o štvoruholník s dvoma pármi rovnobežných strán. Táto paralelná povaha dáva paralelogramom mnoho geometrických charakteristík.
Štvoruholník je rovnobežník, ak sa zistia nasledujúce geometrické charakteristiky.
• Dva páry protiľahlých strán majú rovnakú dĺžku. (AB = DC, AD = BC)
• Dva páry protiľahlých uhlov majú rovnakú veľkosť. (
)
• Ak sú susedné uhly doplňujúce
• Dvojica strán, ktoré sú proti sebe, sú rovnobežné a rovnakej dĺžky. (AB = DC a AB∥DC)
• Uhlopriečky sa navzájom rozdeľujú (AO = OC, BO = OD)
• Každá uhlopriečka rozdeľuje štvoruholník na dva zhodné trojuholníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Ďalej sa súčet štvorcov strán rovná súčtu štvorcov uhlopriečok. Toto sa niekedy označuje ako zákon rovnobežníka a má široké uplatnenie vo fyzike a inžinierstve. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Každá z vyššie uvedených charakteristík sa môže použiť ako vlastnosť, keď sa zistí, že štvoruholník je rovnobežník.
Plochu rovnobežníka možno vypočítať súčinom dĺžky jednej strany a výšky druhej strany. Preto možno plochu rovnobežníka uviesť ako
Plocha rovnobežníka = základňa × výška = AB × h
Plocha rovnobežníka je nezávislá od tvaru jednotlivého rovnobežníka. Závisí to iba od dĺžky základne a kolmej výšky.
Ak strany rovnobežníka môžu byť reprezentované dvoma vektormi, možno plochu získať veľkosťou vektorového produktu (krížového produktu) dvoch susedných vektorov.
Ak sú strany AB a AD reprezentované vektormi (
) a (
), je plocha rovnobežníka daná vzťahom
kde α je uhol medzi
a
Nasleduje niekoľko pokročilých vlastností rovnobežníka;
• Plocha rovnobežníka je dvojnásobok plochy trojuholníka vytvoreného ľubovoľnou z jeho uhlopriečok.
• Plocha rovnobežníka je rozdelená na polovicu ľubovoľnou priamkou prechádzajúcou stredom.
• Akákoľvek nedegenerovaná afinná transformácia vezme rovnobežník do iného rovnobežníka
• Rovnobežník má rotačnú symetriu rádu 2
• Súčet vzdialeností od ktoréhokoľvek vnútorného bodu rovnobežníka do strán je nezávislý od polohy bodu
Obdĺžnik
Štvoruholník so štyrmi pravými uhlami je známy ako obdĺžnik. Je to zvláštny prípad rovnobežníka, kde uhly medzi ľubovoľnými dvoma susednými stranami sú pravé uhly.
Okrem všetkých vlastností rovnobežníka možno pri zvažovaní geometrie obdĺžnika rozpoznať aj ďalšie charakteristiky.
• Každý uhol na vrcholoch je pravý uhol.
• Uhlopriečky majú rovnakú dĺžku a rozdeľujú sa navzájom. Preto majú delené časti tiež rovnakú dĺžku.
• Dĺžka uhlopriečok sa dá vypočítať pomocou Pythagorovej vety:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Plošný vzorec sa zmenšuje na súčin dĺžky a šírky.
Plocha obdĺžnika = dĺžka × šírka
• Mnoho symetrických vlastností sa nachádza v obdĺžniku, napríklad;
- Obdĺžnik je cyklický, pričom všetky vrcholy je možné umiestniť na obvod kruhu.
- Je rovnostranný, kde sú všetky uhly rovnaké.
- Je izogonický, kde všetky rohy ležia na rovnakej obežnej dráhe symetrie.
- Má reflexnú aj rotačnú symetriu.
Aký je rozdiel medzi rovnobežníkom a obdĺžnikom?
• Rovnobežník a obdĺžnik sú štvoruholníky. Obdĺžnik je zvláštny prípad rovnobežníkov.
• Plochu ktoréhokoľvek môžete vypočítať pomocou vzorca základňa × výška.
• Berúc do úvahy uhlopriečky;
- Uhlopriečky rovnobežníka sa rozdeľujú od seba a rovnobežník rozdeľujú tak, aby vytvorili dva zodpovedajúce trojuholníky.
- uhlopriečky obdĺžnika sú rovnako dlhé a rozdeľujú sa navzájom; rozdelené úseky majú rovnakú dĺžku. Uhlopriečky rozdeľujú obdĺžnik na dva zodpovedajúce pravé trojuholníky.
• Berúc do úvahy vnútorné uhly;
- Protichodné vnútorné uhly rovnobežníka sú rovnako veľké. Dva susedné vnútorné uhly sú doplnkové
- Všetky štyri vnútorné uhly obdĺžnika sú pravé uhly.
• Berúc do úvahy strany;
- V rovnobežníku sa súčet štvorcov strán rovná súčtu štvorcov uhlopriečky (zákon rovnobežníka)
- V obdĺžnikoch sa súčet štvorcov dvoch susedných strán rovná štvorcu uhlopriečky na koncoch. (Pytagorovo pravidlo)
