Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti vs funkcia hustoty pravdepodobnosti
Pravdepodobnosť je pravdepodobnosť udalosti. Táto myšlienka je veľmi častá a často sa používa v každodennom živote, keď hodnotíme svoje príležitosti, transakcie a mnoho ďalších vecí. Rozšírenie tohto jednoduchého konceptu na väčší počet udalostí je o niečo náročnejšie. Napríklad nemôžeme ľahko zistiť pravdepodobnosť výhry v lotérii, ale je pohodlné, skôr intuitívne povedať, že existuje pravdepodobnosť, že jeden zo šiestich dostane hodené číslo šesť v hodenej kocke.
Keď sa počet udalostí, ktoré sa môžu stať, zväčšuje alebo počet jednotlivých možností rastie, táto dosť jednoduchá predstava o pravdepodobnosti zlyháva. Preto je potrebné dať solídnu matematickú definíciu, skôr ako sa pristúpi k problémom s vyššou zložitosťou.
Ak je v jednej situácii veľký počet udalostí, ktoré sa môžu stať, je nemožné považovať každú udalosť jednotlivo, ako v príklade hodených kociek. Preto je celý súbor udalostí zhrnutý zavedením konceptu náhodnej premennej. Je to premenná, ktorá môže predpokladať hodnoty rôznych udalostí v konkrétnej situácii (alebo v ukážkovom priestore). Dáva matematický zmysel jednoduchým udalostiam v situácii a matematický spôsob riešenia udalosti. Presnejšie povedané, náhodná premenná je funkciou skutočnej hodnoty nad prvkami vzorového priestoru. Náhodné premenné môžu byť buď diskrétne alebo spojité. Zvyčajne sa označujú veľkými písmenami anglickej abecedy.
Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti (alebo zjednodušene rozdelenie pravdepodobnosti) je funkcia, ktorá priraďuje hodnoty pravdepodobnosti pre každú udalosť; tj poskytuje vzťah k pravdepodobnostiam hodnôt, ktoré môže mať náhodná premenná. Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti je definovaná pre diskrétne náhodné premenné.
Funkcia hustoty pravdepodobnosti je ekvivalentom funkcie rozdelenia pravdepodobnosti pre spojité náhodné premenné, poskytuje pravdepodobnosť, že určitá náhodná premenná zaujme určitú hodnotu.
Ak je X diskrétna náhodná premenná, funkcia uvedená ako f (x) = P (X = x) pre každé x v rozsahu X sa nazýva funkcia rozdelenia pravdepodobnosti. Funkcia môže slúžiť ako funkcia rozdelenia pravdepodobnosti, len ak splní nasledujúce podmienky.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Funkcia f (x), ktorá je definovaná nad množinou reálnych čísel, sa nazýva funkcia hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X, ak a len ak,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx pre akékoľvek reálne konštanty a a b.
Funkcia hustoty pravdepodobnosti by mala spĺňať aj nasledujúce podmienky.
1. f (x) ≥ 0 pre všetky x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti aj funkcia hustoty pravdepodobnosti sa používajú na vyjadrenie rozdelenia pravdepodobností v priestore vzorky. Obyčajne sa tomu hovorí rozdelenie pravdepodobnosti.
Pre štatistické modelovanie sú odvodené štandardné funkcie hustoty pravdepodobnosti a funkcie rozdelenia pravdepodobnosti. Normálne rozdelenie a štandardné normálne rozdelenie sú príkladmi spojitého pravdepodobnostného rozdelenia. Binomické rozdelenie a Poissonovo rozdelenie sú príkladmi diskrétnych rozdelení pravdepodobnosti.
Aký je rozdiel medzi rozdelením pravdepodobnosti a funkciou hustoty pravdepodobnosti?
• Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti a funkcia hustoty pravdepodobnosti sú funkcie definované vo vzorovom priestore na priradenie príslušnej hodnoty pravdepodobnosti každému prvku.
• Funkcie rozdelenia pravdepodobnosti sú definované pre diskrétne náhodné premenné, zatiaľ čo funkcie hustoty pravdepodobnosti sú definované pre spojité náhodné premenné.
• Rozdelenie hodnôt pravdepodobnosti (tj. Rozdelenie pravdepodobnosti) je najlepšie vykresliť pomocou funkcie hustoty pravdepodobnosti a funkcie rozdelenia pravdepodobnosti.
• Funkciu rozdelenia pravdepodobnosti je možné v tabuľke zobraziť ako hodnoty, čo však pre funkciu hustoty pravdepodobnosti nie je možné, pretože premenná je spojitá.
• Pri vykreslení dáva funkcia rozdelenia pravdepodobnosti stĺpcový graf, zatiaľ čo funkcia hustoty pravdepodobnosti dáva krivku.
• Výška / dĺžka pruhov funkcie rozdelenia pravdepodobnosti musí byť pridaná k 1, zatiaľ čo plocha pod krivkou funkcie hustoty pravdepodobnosti musí byť pridaná k 1.
• V obidvoch prípadoch musia byť všetky hodnoty funkcie nezáporné.
