Diskrétna funkcia vs spojitá funkcia
Funkcie sú jednou z najdôležitejších tried matematických objektov, ktoré sa široko používajú takmer vo všetkých čiastkových poliach matematiky. Ako naznačuje ich názov, diskrétne funkcie a spojité funkcie sú dva špeciálne typy funkcií.
Funkcia je vzťah medzi dvoma množinami definovanými tak, že pre každý prvok v prvej množine je hodnota, ktorá jej zodpovedá v druhej množine, jedinečná. Nech f je funkcia definovaná z množiny A do množiny B. Potom pre každé x ϵ A symbol f (x) označuje jedinečnú hodnotu v množine B, ktorá zodpovedá x. Nazýva sa to obraz x pod f. Preto je vzťah f z A do B funkciou, ak a len ak pre, každé xϵ A a y ϵ A; ak x = y, potom f (x) = f (y). Množina A sa nazýva doména funkcie f a je to množina, v ktorej je funkcia definovaná.
Napríklad uvažujme vzťah f od R do R definovaný f (x) = x + 2 pre každé xϵ A. Toto je funkcia, ktorej doménou je R, ako pre každé reálne číslo xay, x = y znamená f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Ale vzťah g z N na N definovaný g (x) = a, kde 'a' je prvočíselným faktorom x, nie je funkciou ako g (6) = 3, ako aj g (6) = 2.
Čo je to diskrétna funkcia?
Diskrétna funkcia je funkcia, ktorej doména je nanajvýš spočítateľná. Jednoducho to znamená, že je možné vytvoriť zoznam, ktorý obsahuje všetky prvky domény.
Akákoľvek konečná množina je nanajvýš spočítateľná. Sada prirodzených čísel a sada racionálnych čísel sú príkladmi pre najviac spočítateľné nekonečné množiny. Množina reálnych čísel a množina iracionálnych čísel nie sú nanajvýš spočítateľné. Obe sady sú nespočetné. Znamená to, že je nemožné vytvoriť zoznam, ktorý obsahuje všetky prvky týchto množín.
Jednou z najbežnejších samostatných funkcií je faktoriálna funkcia. f: NU {0} → N rekurzívne definované f (n) = nf (n-1) pre každé n ≥ 1 a f (0) = 1 sa nazýva faktoriálna funkcia. Všimnite si, že jeho doména NU {0} je nanajvýš spočítateľná.
Čo je to spojitá funkcia?
Nech f je funkcia taká, že pre každé k v doméne f, f (x) → f (k) ako x → k. Potom f je spojitá funkcia. To znamená, že je možné ľubovoľne priblížiť f (x) k f (k) tak, že x dostatočne priblížime k pre každé k v doméne f.
Uvažujme funkciu f (x) = x + 2 na R. Je vidieť, že ako x → k, x + 2 → k + 2 je f (x) → f (k). Preto je f spojitá funkcia. Teraz uvažujme g na kladných reálnych číslach g (x) = 1, ak x> 0 a g (x) = 0, ak x = 0. Potom táto funkcia nie je spojitou funkciou, pretože hranica g (x) neexistuje (a teda sa nerovná g (0)) ako x → 0.
Aký je rozdiel medzi diskrétnou a spojitou funkciou?
• Diskrétna funkcia je funkcia, ktorej doména je nanajvýš spočítateľná, ale nemusí to tak byť v prípade spojitých funkcií.
• Všetky spojité funkcie ƒ majú vlastnosť, že ƒ (x) → ƒ (k) ako x → k pre každé x a pre každé k v doméne ƒ, ale v niektorých samostatných funkciách to tak nie je.
