Rozdiel Medzi Diferenciáciou A Deriváciou

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-16 08:42

Diferenciácia vs. derivácia

V diferenciálnom počte derivácia a diferenciácia spolu úzko súvisia, sú však veľmi odlišné a používajú sa na vyjadrenie dvoch dôležitých matematických konceptov súvisiacich s funkciami.

Čo je to derivát?

Derivácia funkcie meria rýchlosť, akou sa mení hodnota funkcie pri zmene jej vstupu. Vo funkciách s viacerými premennými zmena hodnoty funkcie závisí od smeru zmeny hodnôt nezávislých premenných. Preto sa v takýchto prípadoch zvolí konkrétny smer a funkcia sa v tomto konkrétnom smere diferencuje. Táto derivácia sa nazýva smerová derivácia. Parciálne derivácie sú zvláštnym druhom smerových derivácií.

Deriváciu funkcie s vektorovou hodnotou f môžeme definovať ako limit

všade, kde existuje definitívne. Ako už bolo spomenuté, dá nám to rýchlosť nárastu funkcie f v smere vektora u. V prípade funkcie s jednou hodnotou sa to redukuje na známu definíciu derivátu,

Napríklad

je všade diferencovateľné a derivácia sa rovná limitu

ktorý sa rovná

. Deriváty funkcií, ako

existujú, existujú všade. Rovnajú sa funkcii

Toto je známe ako prvý derivát. Prvý derivát funkcie f sa zvyčajne označuje f ⁽¹⁾. Teraz pomocou tejto notácie je možné definovať derivácie vyššieho rádu.

je smerová derivácia druhého rádu a označujúca n- ^tú deriváciu f ⁽ⁿ⁾ pre každé n

definuje n- ^tú deriváciu.

Čo je to diferenciácia?

Diferenciácia je proces hľadania derivácie diferencovateľnej funkcie. D-operátor označený D predstavuje diferenciáciu v niektorých kontextoch. Ak je x nezávislá premenná, potom D ≡ ^d / _dx. D-operátor je lineárny operátor, tj pre ktorékoľvek dve diferencovateľné funkcie f a g a konštantu c nasledujú nasledujúce vlastnosti.

I. D (f + g) = D (f) + D (g)

II. D (cf) = cD (f)

Pomocou D-operátora je možné vyjadriť ďalšie pravidlá spojené s diferenciáciou nasledovne. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (^f / _g) = ^{[D (f) g - f D (g)]} / _g ² a D (hmla) = (D (f) og) D (g).

Napríklad, keď F (x) = x ² sin x je diferencované vzhľadom na x pomocou daných pravidiel, odpoveď bude 2 x sin x + x ² cos x.

Aký je rozdiel medzi diferenciáciou a deriváciou?

• Derivácia sa týka rýchlosti zmeny funkcie

• Diferenciácia je proces hľadania derivácie funkcie.