Diferenciácia vs. derivácia
V diferenciálnom počte derivácia a diferenciácia spolu úzko súvisia, sú však veľmi odlišné a používajú sa na vyjadrenie dvoch dôležitých matematických konceptov súvisiacich s funkciami.
Čo je to derivát?
Derivácia funkcie meria rýchlosť, akou sa mení hodnota funkcie pri zmene jej vstupu. Vo funkciách s viacerými premennými zmena hodnoty funkcie závisí od smeru zmeny hodnôt nezávislých premenných. Preto sa v takýchto prípadoch zvolí konkrétny smer a funkcia sa v tomto konkrétnom smere diferencuje. Táto derivácia sa nazýva smerová derivácia. Parciálne derivácie sú zvláštnym druhom smerových derivácií.
Deriváciu funkcie s vektorovou hodnotou f môžeme definovať ako limit
všade, kde existuje definitívne. Ako už bolo spomenuté, dá nám to rýchlosť nárastu funkcie f v smere vektora u. V prípade funkcie s jednou hodnotou sa to redukuje na známu definíciu derivátu,
Napríklad
je všade diferencovateľné a derivácia sa rovná limitu
ktorý sa rovná
. Deriváty funkcií, ako
existujú, existujú všade. Rovnajú sa funkcii
Toto je známe ako prvý derivát. Prvý derivát funkcie f sa zvyčajne označuje f (1). Teraz pomocou tejto notácie je možné definovať derivácie vyššieho rádu.
je smerová derivácia druhého rádu a označujúca n- tú deriváciu f (n) pre každé n
definuje n- tú deriváciu.
Čo je to diferenciácia?
Diferenciácia je proces hľadania derivácie diferencovateľnej funkcie. D-operátor označený D predstavuje diferenciáciu v niektorých kontextoch. Ak je x nezávislá premenná, potom D ≡ d / dx. D-operátor je lineárny operátor, tj pre ktorékoľvek dve diferencovateľné funkcie f a g a konštantu c nasledujú nasledujúce vlastnosti.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Pomocou D-operátora je možné vyjadriť ďalšie pravidlá spojené s diferenciáciou nasledovne. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 a D (hmla) = (D (f) og) D (g).
Napríklad, keď F (x) = x 2 sin x je diferencované vzhľadom na x pomocou daných pravidiel, odpoveď bude 2 x sin x + x 2 cos x.
Aký je rozdiel medzi diferenciáciou a deriváciou?
• Derivácia sa týka rýchlosti zmeny funkcie
• Diferenciácia je proces hľadania derivácie funkcie.
