Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integrácia je hlavnou témou počtu. V silnejšom zmysle možno integráciu považovať za obrátený proces diferenciácie. Pri modelovaní problémov v reálnom svete je ľahké písať výrazy zahŕňajúce deriváty. V takejto situácii je na nájdenie funkcie, ktorá poskytla konkrétnu deriváciu, potrebná integračná operácia.
Z iného uhla pohľadu je integrácia procesom, ktorý zhŕňa súčin funkcie ƒ (x) a δx, kde δx býva určitou hranicou. Z tohto dôvodu používame integračný symbol ako ∫. Symbol ∫ je v skutočnosti to, čo získame natiahnutím písmena s na odkaz na súčet.
Riemann Integral
Uvažujme funkciu y = ƒ (x). Integrál y medzi a a b, kde a a b patria do množiny x, sa píše ako b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Toto sa nazýva určitý integrál jednohodnotovej a spojitej funkcie y = ƒ (x) medzi a a b. To dáva plochu pod krivkou medzi a a b. Toto sa tiež nazýva Riemannov integrál. Riemannov integrál vytvoril Bernhard Riemann. Riemannov integrál spojitej funkcie je založený na Jordanovej miere, preto je tiež definovaný ako limit Riemannovych súčtov funkcie. Pre funkciu so skutočnou hodnotou definovanou v uzavretom intervale je Riemannov integrál funkcie vzhľadom na oblasť x 1, x 2, …, x ndefinované na intervale [a, b] a t 1, t 2, …, t n, kde x i ≤ t i ≤ x i + 1 pre každé i ε {1, 2, …, n}, je definovaná Riemannova suma ako Σ i = o až n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue je iný typ integrálu, ktorý pokrýva širokú škálu prípadov ako Riemannov integrál. Integrál lebesgue predstavil Henri Lebesgue v roku 1902. Legesgueovu integráciu možno považovať za zovšeobecnenie Riemannovej integrácie.
Prečo musíme študovať ďalší integrál?
Uvažujme charakteristickú funkciu ƒ A (x) = { 0 if, x nie ε A 1 if, x ε A na množine A. Potom konečnú lineárnu kombináciu charakteristických funkcií, ktorá je definovaná ako F (x) = Σ a i ƒ E i (x) sa nazýva jednoduchá funkcia, ak je E i merateľné pre každé i. Lebesgueov integrál F (x) nad E je označený E ∫ ƒ (x) dx. Funkcia F (x) nie je Riemannovo integrovateľná. Preto je Lebesgueov integrál preformulovaný Riemannov integrál, ktorý má určité obmedzenia týkajúce sa integrovaných funkcií.
Aký je rozdiel medzi Riemann Integral a Lebesgue Integral?
· Lebesgueov integrál je zovšeobecňovacou formou Riemannovho integrálu.
· Lebesgueov integrál umožňuje spočítateľné nekonečno diskontinuít, zatiaľ čo Riemannov integrál umožňuje konečný počet diskontinuít.
