Fourierova séria vs Fourierova transformácia
Fourierova séria rozkladá periodickú funkciu na súčet sínusov a kosínusov s rôznymi frekvenciami a amplitúdami. Fourierova séria je odvetvím Fourierovej analýzy a predstavil ju Joseph Fourier. Fourierova transformácia je matematická operácia, ktorá preruší signál na jeho základné frekvencie. Pôvodný signál, ktorý sa časom menil, sa nazýva reprezentácia signálu v časovej doméne. Fourierova transformácia sa nazýva reprezentácia signálu vo frekvenčnej doméne, pretože závisí od frekvencie. Reprezentácia signálu vo frekvenčnej doméne a proces použitý na transformáciu tohto signálu do frekvenčnej domény sa označujú ako Fourierova transformácia.
Čo je Fourierova séria?
Ako už bolo spomenuté, Fourierova séria predstavuje rozšírenie periodickej funkcie pomocou nekonečného súčtu sínusov a kosínusov. Fourierova séria bola pôvodne vyvinutá pri riešení tepelných rovníc, ale neskôr sa zistilo, že rovnakou technikou je možné použiť aj na riešenie veľkého množstva matematických úloh, najmä problémov, ktoré zahŕňajú lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi. Séria Fourier má teraz aplikácie vo veľkom množstve oblastí vrátane elektrotechniky, vibračnej analýzy, akustiky, optiky, spracovania signálu, spracovania obrazu, kvantovej mechaniky a ekonometrie. Fourierove rady využívajú vzťahy ortogonality sínusových a kosínusových funkcií. Výpočet a štúdium Fourierových radov je známe ako harmonická analýza a je veľmi užitočné pri práci s ľubovoľnými periodickými funkciami,pretože umožňuje rozdeliť funkciu na jednoduché výrazy, ktoré možno použiť na získanie riešenia pôvodného problému.
Čo je Fourierova transformácia?
Fourierova transformácia definuje vzťah medzi signálom v časovej doméne a jeho reprezentáciou vo frekvenčnej doméne. Fourierova transformácia rozkladá funkciu na oscilačné funkcie. Pretože sa jedná o transformáciu, pôvodný signál je možné získať z poznania transformácie, takže v procese nevznikajú ani sa nestratia žiadne informácie. Štúdium Fourierovej série vlastne poskytuje motiváciu pre Fourierovu transformáciu. Vďaka vlastnostiam sínusov a kosínusov je možné získať množstvo každej vlny, ktorá prispieva k súčtu pomocou integrálu. Fourierova transformácia má niektoré základné vlastnosti, ako je linearita, translácia, modulácia, zmena mierky, konjugácia, dualita a konvolúcia. Pri riešení diferenciálnych rovníc sa uplatňuje Fourierova transformácia, pretože Fourierova transformácia úzko súvisí s Laplaceovou transformáciou. Fourierova transformácia sa tiež používa v nukleárnej magnetickej rezonancii (NMR) a v iných druhoch spektroskopie.
Rozdiel medzi Fourierovou sériou a Fourierovou transformáciou
Fourierova séria je rozšírenie periodického signálu ako lineárna kombinácia sínusov a kosínusov, zatiaľ čo Fourierova transformácia je proces alebo funkcia používaná na prevod signálov z časovej oblasti do frekvenčnej oblasti. Fourierova séria je definovaná pre periodické signály a Fourierovu transformáciu je možné aplikovať na neperiodické signály (vyskytujúce sa bez periodicity). Ako už bolo spomenuté vyššie, štúdium Fourierových radov skutočne poskytuje motiváciu pre Fourierovu transformáciu.
